Согласно электронному орфографическому словарю (в окне «Проверка слова» можно набрать, например, *церковь) правильно: первоиерарх Русской зарубежной православной церкви.

Правильно: Русская православная церковь.

С большой буквы пишется только первое слово: Русская православная церковь.

Написание будет зависеть от типа текста. В церковно-религиозных текстах принято написание Русская Православная Церковь Заграницей. В остальных текстах нужно писать в соответствии с рекомендациями орфографических словарей и справочников: Русская православная церковь за границей.

В обычных текстах: Русская православная церковь. В церковных текстах все слова могут быть написаны с большой буквы.

С большой буквы пишется первое слово: Русская православная церковь.

В церковно-религиозных и религиозно-философских текстах в названиях православных церквей все слова названия, кроме предлогов, действительно пишутся с прописной буквы. Однако в обычных текстах написание подчиняется общим орфографическим правилам: в названиях конфессий с прописной буквы пишется первое слово. Верно: Русская православная церковь, Армянская апостольская церковь, Римско-католическая церковь и пр.

Правильно написание согласно словарю «Прописная или строчная?» (В. В. Лопатин, И. В. Нечаева, Л. К. Чельцова).